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   首先，文中給出兩種平衡模式：穩定立在一個平面上的站立模式和懸掛在一根細繩上保持平衡的懸掛模式．對站立模式，模型與地面接觸的所有接觸點可構成一個支撐多邊形，要使模型保持平衡必須使其重心投影落在支撐多邊形內；對懸掛模式，保持平衡的關鍵在于使其重心通過細繩與物體相連的吊接點方可，如圖７所示。

   在此基礎上，作者將３Ｄ輸入模型視為一個實體模型，上述問題就可轉化為通過一定方式改變這個體模型的重心使其達到合適的平衡狀態．文中給出兩種調整重心位置的方式：（１）掏空模型內部區域，使其產生內部空洞；（２）在盡可能保持模型外部形狀特征的條件下使模型外表面變形．經過以上重心優化處理后模型，３Ｄ打印為實物后，無需額外的支架或底座，模型也能很好地保持站立模型，如圖６（ｂ）、（ｃ）所示．

３、打印成本優化問題

   隨著３Ｄ打印技術的發展，３Ｄ打印成本在不斷地在下降，即便如此，與傳統制造所生產的產品相比，３Ｄ打印產品的成本仍相對較高，目前通常用單位體積所需材料的費用來表示（元／ｃｍ３）．顯然，３Ｄ打印成本直接與材料成正比．因此，如何能在不犧牲打印物體質量的前提下，通過優化模型來減少打印材料消耗，對于降低打印成本來說，至關重要．為節省打印材料，受建筑工程中的桁架結構的啟發，Wang等人提出的一種基于“蒙皮－剛架”（Ｓｋｉｎ－Ｆｒａｍｅ）的輕質結構來解決材料優化問題．如圖８所示，這里的剛架（Frame）能有效地降低打印材料成本，并使打印物體滿足所要求的物理強度、受力穩定性、自平衡性及可打印性．這些剛架結構是由一些細桿通過一些節點相連而成，形成空間的一個圖結構．需說明的是，這種結構與建筑中常見的桁架（Ｔｒｕｓｓ）有所不同，因為前者的桿件之間并不是鉸接的，而是固定連接的．這種結構的優點主要有兩個：

（１）力學特性好，當某節點受到外力時，此處的受力能通過相鄰的細桿迅速傳播分散開來；（２）質量輕便，這種結構是由稀疏的細桿組成，因此總體質量不大，很好地減少了結構本身的重量及所使用的材料。

   基于以上考慮，作者的想法是：對于給定的一個三維模型，我們將模型表達成一個很薄的蒙皮以及內部的剛架結構，使得表達后的物體的體積（即所使用的打印材料）最小，而且使得打印物體能夠滿足所要求的物理強度、受力穩定性、自平衡性及可打印性等要求。

   文獻的目標函數包括兩個：第１個目標為使得物體的體積最小，即蒙皮體積及剛架結構的體積之和最小．由于蒙皮的厚度的增加會很快增加體積，因此我們將蒙皮的厚度固定為最小可打印精度，不作為優化變量．因此，需要優化的變量只包括剛架結構中的細桿的半徑、節點的個數及位置．第２個目標為使得剛架結構中的細桿數量及節點數量盡量少，該目標是為了使得不要出現冗余的細桿及節點．

   為此，作者通過優化建模，提出一種迭代優化的方法來優化兩個目標函數．只要從任意的一個剛架結構出發（可隨機產生），該算法可以智能地優化出細桿的半徑，去除多余的細桿及節點，以及優化節點的位置，使得總體積最小．

   對于一些需要支撐結構的３Ｄ打印類型，文中算法同樣適用，它能夠智能地設計支撐結構，如圖９所示，這種支撐結構也是由一些細桿組成，能夠在打印過程中起到支撐的作用．很容易看出，該算法設計的支撐結構極大地減少了支撐材料的浪費，并且非常容易剝除。